El término radical viene del latín radix (‘raíz’), por lo que significa ‘de raíz’ o ‘de base’, refiriéndose sobre todo a un punto de vista profundo, sustancial, más aún si es aplicado a alguna convicción, práctica, análisis o propuesta.
En matemática:
El n-ésimo radical o raíz de un número a, escrito como , que es el número cuya n-ésima potencia es a (ver también raíz cuadrada).
En teoría de números, el radical de un entero es el mayor entero libre de cuadrados que divide a ese número.
Radical es una expresión de la forma , en la que n y a ; con tal que cuando a sea negativo, n ha de ser impar.
Expresión de un radical en forma de potencia:
Reducción de radicales a índice común
1 Hallamos el mínimo común múltiplo de los índices, que será el común índice
2 Dividimos el común índice por cada uno de los índices y cada resultado obtenido se multiplica por sus exponentes correspondientes.
Extracción de factores fuera del signo radical
Se descompone el radicando en factores. Si:
Un exponente es menor que el índice, el factor correspondiente se deja en el radicando.
Un exponente es igual al índice, el factor correspondiente sale fuera del radicando.
Un exponente es mayor que el índice, se divide dicho exponente por el índice. El cociente obtenido es el exponente del factor fuera del radicando y el resto es el exponente del factor dentro del radicando.
Introducción de factores dentro del signo radical
Se introduce los factores elevados al índice correspondiente del radical.
Propiedades de los radicales
Producto de radicales
Radicales del mismo índice
Para multiplicar radicales con el mismo índice se multiplican los radicandos y se deja el mismo índice.
Radicales de distinto índice
Cociente de radicales
Para dividir radicales con el mismo índice se dividen los radicandos y se deja el mismo índice.
Radicales de distinto índice
Potencia de radicales
Para elevar un radical a una potencia se eleva a dicha potencia el radicando y se deja el mismo índice.
Racionalizar radicales
Consiste en quitar los radicales del denominador, lo que permite facilitar el cálculo de operaciones como la suma de fracciones.
Podemos distinguir tres casos.
1Del tipo
Se multiplica el numerador y el denominador por .
2Del tipo
Se multiplica numerador y denominador por .
3Del tipo , y en general cuando el denominador sea un binomio con al menos un radical.
Se multiplica el numerador y denominador por el conjugado del denominador.
El denominador en un exponente racional es la raíz y el numerador es el exponente de la base. Da lo mismo hallar la potencia y luego la raíz que hallar la raíz y luego la potencia. | ||
La raíz de un producto es el producto de las raíces. | ||
La raíz de un cociente es el cociente de las raíces. |
PROPIEDADES DE LOS RADICALES
Los radicales tienen una serie de propiedades, que debemos conocer y utilizar con soltura. Todas ellas son consecuencia inmediata de conocidas propiedades de las potencias. Veámoslas una a una, estudiando su significado en algunos ejemplos, y viendo sus aplicaciones.
Primera:
Ejemplos:
Esta propiedad tiene dos importantes aplicaciones:
simplificar radicales tal y como se ha visto en los ejemplos anteriores;
conseguir que dos o más radicales tengan el mismo índice (reducir a índice
común).
Segunda:
Ejemplos:
Esta propiedad tiene dos aplicaciones importantes:
sacar un factor fuera de la raíz;
de modo contrario, juntar varios radicales en uno solo.
OPERACIONES CON RADICALES
La suma o la resta de radicales semejantes es otro radical semejante a los dados, cuyo coeficiente es igual a la suma o la resta de los coeficientes de los radicales sumados o restados.
Ejemplo:
Si los radicales no son semejantes, la suma se deja indicada.
Ejemplo:
El producto de radicales, con el mismo índice, es igual a otro radical cuyo coeficiente y radicando son iguales, respectivamente, a los productos de los coeficientes y radicandos de los factores.
Ejemplo:
El cociente de dos radicales con el mismo índice, es igual a otro radical, cuyo coeficiente y radicando son iguales, respectivamente, al cociente de los coeficientes y radicandos de los radicales dividendo y divisor.
Ejemplo:
La potencia de un radical es igual a otro radical, cuyo coeficiente y radicando están elevados a dicha potencia.
Ejemplo:
Es importante observar que al elevar al cuadrado un radical de índice 2, se obtiene el radicando.
Ejemplo:
Multiplicación de radicales
Se multiplica los coeficientes entre sí y las cantidades preradicales entre sí, dando este último producto sobre el signo radical común y se simplifica el resultado.
Ejemplo:
Multiplicación de radicales con diferente índice
Ejemplo:
Primero, se determina el mínimo común múltiplo de los índices. Este será el índice de todos los radicales en la operación. En este caso el mínimo común múltiplo sería 20 ya que 4 · 5 = 20.
Después se divide el mínimo común múltiplo entre el índice de cada radical.
El resultado del mínimo común múltiplo entre cada índice del radical, será la cantidad que eleve a las cantidades subradicales de esa raíz.
Ahora, se hace una multiplicación de radicales de las de igual índice ya que ambas raíces poseen índice 20:
División de radicales de igual índice
Esta operación es conocida también como cociente de radicales. Para dividir los radicales de igual índice, se dividen las cantidades subradicales y se coloca el mismo índice en el radical.
Ejemplo:
División de radicales de diferente índice
Es también conocida como cociente de radicales. El proceso es bastante similar al de la multiplicación de radicales
Ejemplo:
Hay que determinar el mínimo común múltiplo de los índices. Éste será el índice de todos los radicales del cociente o fracción. En este caso el mínimo común múltiplo es 5.7 = 35. El resultado del mínimo común múltiplo entre cada índice del radical, esa será la cantidad que eleve a las cantidades subradicales de esa raíz.
Ahora, se realiza una división de radicales de igual índice restando dejando la misma base y restando los exponentes:
Suma y resta de radicales
Se dice que 2 o más radicales son semejantes, cuando tienen el mismo índice y el mismo radicando. La suma algebraica de radicales se reduce a combinar todos los radicales semejantes en un solo término.
